Математика в азартных играх

Считается, что самый лучший совет, который математик может дать игроку, это следующий: лучшей стратегией для азартных игр будет полное от них воздержание. По мнению математика, статистика с теорией вероятности способна максимально на такую стратегию, применяя которую игрок сможет минимизировать свои проигрыши. Знал ли об этом постулате Эдвард Торп, который преподавал математику в одном из университетов Соединенных Штатов, когда однажды решил поиграть в блэкджек, оказавшись в Лас-Вегасе. Как выяснилось, госпоже Фортуне он не приглянулся. Неизвестно, какую именно сумму проиграл тогда Торп, но, судя по дальнейшим событиям, очевидно, немалую. Математик решил во что бы то ни стало отыграться, и долгие годы его обуревала идея фикс – разработать оптимальную стратегию для игры в блэкджек. Но могло статься и так, что проигрыш сам по себе больно ударил по самолюбию математика. К тому же Торп мог заподозрить крупье в не очень честной игре, так как он тасовал колоду не после каждой раздачи, а через несколько. Правда, позже он понял, что такова была общая система, а не злой умысел крупье – таким образом сокращалось время между розыгрышами. Но Торп все же смог разработать оптимальную стратегию игры в блэкджек.

Его система как раз и опиралась на нечастое тасование карт. Результаты своих исследований и многолетних наблюдений Торп описал в своей книге «Выигрышная стратегия для игры в блэкджек», опубликованной в 1962 году (Thorp E.O Beat the dealer. A winning strategy for the game of twenty one. - New York: Blaisdell, 1962). После выхода в свет этой книги все владельцы казино в штате Невада существенно изменили правила блэкджека. Прежние правила предусматривали, что крупье тщательно тасовал колоду из 52 карт, после чего раздавал каждому игроку по две карты. Игроки не показывали своих карт крупье, а крупье показывал одну из своих двух карт. Игроки так оценивали свои шансы на выигрыш: валет, дама и король считались каждые за 10 очков, туз по желанию мог равняться или одному очку, или одиннадцати, остальные карты считались по их номиналу. Выигрывал игрок, набравший общую сумму карт максимально приближенную к 21 очку (переборы не допускались – игрок, набравший 22 очко, немедленно проигрывал). Когда игрок получал карты, он их суммировал и оценивал, стоит ли еще прикупить карту или лучше воздержаться (просить ли еще карту из колоды или нет). Если же с третьей картой сумма его карт превышала 21, игрок проигрывал и выбывал из игры.

Ставки регулировались своими правилами: были установлены верхние и нижние границы ставок, игрок мог поставить любую сумму в пределах этих границ, ориентируясь на силу своих карт. Если игрок выигрывал, ему начислялся выигрыш по сделанной ставке, а если проиграл – поставленные деньги он терял. Если же крупье и кто-то из игроков смогли набрать одинаковое количество очков, в этом случае была «ничья». Если у крупье карт было больше, чем на 21 очко, он имел право не показывать своих карт. Кроме того, даже когда в финале игроки открывают карты (и в этом случае выигрывает казино), они все равно не могут знать, сколько очков у крупье. Солидное преимущество казино, которое все понимают. Но тем не менее, все равно продолжают играть. Видимо, риск – благородное дело.

Торм смог узнать, что владельцы казино дают персоналу заведения четкие предписания относительно стратегий, по которым они должны играть. Такие меры принимались, чтобы не допустить сговора игроков и крупье (крупье – тоже живые люди; эту возможность нельзя исключать). Такие предписания существенно уменьшали вероятность сговора крупье с игроками, с одной стороны, с другой же, достаточно наблюдательный посетитель мог присмотреться к этой стратегии и сам ее использовать. Торпу удалось выяснить, что в казино Невады крупье запрещалось прикупать карты, если он набрал 17 и выше очков – это знание могло помочь посетителю в его игре. Следовательно, в свою пользу можно оборачивать даже изначальные преимущества заведения.

Торп также учитывал, что карты тасовались не после каждого розыгрыша – если после завершения партии в колоде оставались карты, крупье раздавал игрокам карты из оставшейся колоды, и игра шла дальше. Если у игрока была хорошая память и он запоминал выбывшие из игры карты, он с большей долей вероятности мог предсказать, какие карты находятся в игре. Да и крупье не менял своей стратегии, выполняя распоряжение начальства. Торп решил рассчитать, какова вероятность, что выпадут карты из неполной колоды. Вооружившись теорией вероятностей, игрок уже уверенней мог прикупать карты и знать, какова вероятность «перебрать» карты и имел небольшое представление о картах соперников и крупье. Разумеется, ему приходилось в уме проделывать все расчеты, ведь в казино запрещено было делать записи. Следовательно, нужно было вывести относительно простую и легко запоминающуюся формулу расчета. И она должна была действовать. Торпу удалось решить данную проблему – он создал алгоритмы для расчета вероятностей выпадения конкретной карты, что повышало шансы игрока выиграть.

Венгерский математик Реньи рассказывает о таком случае. Спустя два дня после доклада Торпа на заседании Американского математического общества в 1960 году о данных, полученных при использовании своей стратегии один бизнесмен прислал математику чек на сто тысяч долларов, чтобы проверить стратегию. Торп взял чек и на практике проверил стратегию в одном из казино. Она действительно работала – уже через пару часов выигрыш математика составлял 17 тысяч долларов.

Торп, конечно же, обрадовался. Владелец казино, несомненно, не очень – у него было предвзятое мнение. И он решил принять все меры, чтобы Торп больше не мог играть в его заведении. Торп попытался было зайти в другие казино, но их владельцы тоже были настороже, и математика не пустили. Торпу приходилось изменять внешность, но его все равно выдавала череда постоянных выигрышей. Он уже не мог больше на практике проверять свою стратегию. Правда, эти дополнительные проверки Торп предпринимал в основном чтобы улучшить свое финансовое положение. В итоге Торп действительно смог создать нечто выдающееся. Правда, ему от этого никакой выгоды уже не было, так как ни в одно казино его уже не пускали. Так что он решил опубликовать свою статью «Излюбленная стратегия при игре в двадцать один» (Thorp E.O. "A favourable strategy for twenty-one", Proc.Nat.Acad.Sci., 47, 110-112, 1961). Статья была изложена в крайне академичном стиле, поскольку была ориентировала все-таки на ученую аудиторию, но тем не менее, многие математики и их знакомые и близкие смогли немало выиграть (вряд ли владельцы казино читали труды Американской Академии наук).

На следующий год Торп переработал свою статью для широкого читателя (эта книга упоминалась выше), предназначая свою книгу для более массового и менее ученого читателя. Но эта книга не только помогала читателям выигрывать, но и объяснила владельцам казино, в чем крылся секрет успеха Торпа.

Они уяснили следующее: после каждой партии нужно обязательно тщательно тасовать карты. Если постоянно тасовать колоду, то использовать стратегию Торпа становится более затруднительней, так как рассчитать вероятности в этом случае практически нереально. Как можно определить, тщательно ли перетасованы карты или нет? Обычно крупье (или же специальный автомат), когда тасует карты, то делает с колодой определенное количество движений, при каждом таком движении изменяется взаимное расположение карт. Есть такой математический термин – «подстановка». Он означает, что карты изменили свое положение по отношению друг к другу. Какова вероятность, что после 10-25 таких движений колода будет действительно хорошо перетасованной – другими словами, будут ли шансы, на то, что верхней картой колоды будет валет либо дама, составлять 1:13? Можно сказать так, что из 130 перемещений карт колода будет перетасована тем тщательней, чем вероятность, что верхней картой будет определенная заранее карта, максимально приблизится к соотношению 10:130.

Можно доказать тот момент, что если движения при перетасовывании будут абсолютно идентичными, то колода не будет удовлетворительно перемешана. При этом качество тасовки будет зависеть от количества тасующих движений – от порядка подстановки, если применить математический термин. То есть, число таких движений (подстановок), будет равно t и равно количеству возможных вариантов взаимного расположения карт относительно друг друга в колоде.

Разумеется, крупье – не автомат. И он не способен абсолютно одинаково повторять все свои движения. Но если предположить, что при тасовании колоды движения выбирают случайным образом, даже в этом случае качество перетасовывания колоды будет невысоким. Шулеры давно уяснили, что тщательная на первый взгляд перетасовка колоды не является тщательной на самом деле.

А что по этому поводу говорит математика? Она поможет понять, в чем тут дело. А. Реньи в книге «Азартные игры и теория вероятностей» так это объясняет при помощи математических выкладок: «Если тасовать, используя случайные движения, то при достаточно длительном перетасовывании может быть любая перестановка карт. Если считать количество движений тасующего достаточным, можно смело назвать колоду хорошо перетасованной». Из этого отрывка можно судить о следующем. Можно сделать лишь приблизительный вывод, что качество перетасовывания колоды имеет вероятностный характер и может быть высоким, если количество движений было достаточно большим. Но конкретного количества движений не указано – можно только предположить, что 20-25 движений, которые обычно делают крупье, будет все же недостаточно. Кроме того, сложно проанализировать, насколько случайными будут движения крупье, если их оценивать с точки зрения именно «случайности».Итак, вспомним первоначальный вопрос – чем игроку может помочь математик? Вполне возможно, что по-настоящему выигрышная стратегия, которая будет основана на математических расчетах, не скоро появится. Торп создавал свою теорию, когда правила игры были несовершенны, а сейчас действуют другие правила. С другой стороны, если игрок может понять математические аспекты в азартных играх, он вполне способен избегать невыгодных ситуаций в игре. Кроме того, если нельзя создать стопроцентно выигрышную стратегию, это не значит, что нельзя выбрать оптимального решения в конкретной игровой ситуации. Ваш выигрыш способен усилить удовольствие, когда вы играете.